Martes, 3 de Enero del 2017,
Clase N#18
Media y varianza para variables aleatorias continuas
Sean:
x: v.a.c
f(x): función de dencidad de probabilidad de x.
Entonces:
A la media de X algunas veces se le llama esperanza, o valor esperado, de X y se puede denotar también por E(X) o por μ .
La varianza de X:
La desviación estandar es la raiz cuadrada de la varianza.
Ejercicio:
*Calcule la media y la varianza para el ejemplo de la estación de servicio en donde X es una variable aleatoria continua que representa tiempo de atención en horas, siendo sudensidad de
probabilidad:
Viernes, 6 de Enero del 2017,
Clase N#19
DISTRIBUCIONES COMUNES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
Distibucion de Bernoulli
Es un
experimento en el cual puede suscitarse únicamente dos resultados
posibles. Designados como “éxito”
y “fracaso”. Si la probabilidad
de obtener “éxito” en cada ensayo es un valor que lo representamos con p, la
probabilidad de obtener “fracaso” será q = 1 – p.
X: Variable
aleatoria cuyos valores pueden ser 1: “éxito”, 0:“fracaso”
p: Valor de
probabilidad de que el resultado del ensayo sea “éxito”
La distribución
de probabilidad de X
*Media y varianza de una variable aleatoria de Bernoulli
E(x)= p
Var(x)=p.q q=(1-p)
Ejercicio:
Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6, sea X =1 si el dado cae 6 y x=0 en cualquier caso.
La distribucion de x es:
La probabilidad de éxito de p=P(X=1)=1/6, X-(1/6)
Considere el experimento consistente al lanzar un dado y la variable alaeatoria X: el número de puntos es mayor a 4
x={(1,si wE {5,6})(2,siwE{1,2,3,4})}
Pr(X=0)=2/2; Pr(X=1)=1/2
x={(1,si wE {5,6})(2,siwE{1,2,3,4})}
Pr(X=0)=2/2; Pr(X=1)=1/2
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
X ~ Bin(n, p).
Ahora es
de interés la
variable aleatoria relacionada
con la cantidad de “éxitos” que se obtienen en el experimento.
Características de un experimento binomial
a) La cantidad de ensayos que se realizan es
finita. Sea esta cantidad n
b) Cada ensayo tiene únicamente dos resultados
posibles: “éxito” o “fracaso”
c) Todos los ensayos realizados son independientes
d) La probabilidad de “éxito” en cada ensayo
permanece constante. Sea este valor p.
Distribución binomial
X: Variable
aleatoria discreta cuyo valor representa
la cantidad de ensayos considerados “éxitos” en una serie de n ensayos
realizados.
x = 0, 1,
2, ..., n valores que puede tomar X
p: valor de
probabilidad de que cada resultado sea “éxito”
La distribución
de probabilidad de X
Ejercicio:
Una droga causa efectos secundarios en una proporcion de 3 de cada 100 pacientes, para contatar esto un laboratorio eleige al azar 5 pacientes a los que aplica la droga. la probabilidad de los siguientes sucesos son:
Martes, 10 de Enero del 2017,
Clase N#20
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Es una distribribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta que nos proporciona al distribucion de que ocurra un determinado susceso un número de veces k enun intervalo de tiempo,área, longitud.
Es una distribribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta que nos proporciona al distribucion de que ocurra un determinado susceso un número de veces k enun intervalo de tiempo,área, longitud.
PROPIEDADES
Si X-Poisson(u), entonces:
*Xes una variable aleatoria discreta, cuyos posibles valores son enteros no negativos.
*El parametro u es una constante positiva
Si X-Poisson(u), entonces:
*Xes una variable aleatoria discreta, cuyos posibles valores son enteros no negativos.
*El parametro u es una constante positiva
MEDIA Y VARIANZA
Ejercicio:
El promedio
de llamadas que pasan por una central telefónica en un minuto es igual a dos.
Hallar la probabilidad de que en tres minutos se hagan.
a) 4
llamadas.
b) Menos de
4 llamadas
c) Al menos 4 llamadas
Viernes, 13 de Enero del 2017,
Clase N#21
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Es un caso
especial de la distribución binomial negativa, cuando k=1. Es decir interesa
conocer la probabilidad
respecto a la
cantidad de ensayos
que se realizan
hasta obtener el
primer “éxito”
Distribución geométrica
MEDIA Y VARIANZA
Ejemplo.
Calcule la
probabilidad que en el quinto lanzamiento de tres monedas se obtengan tres
sellos por primera vez.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
*Es un experimento con
las mismas propiedades de un experimento binomial.
-Cada ensayo tiene
únicamente dos resultados posibles “éxito” o “fracaso”
-Todos los ensayos son
independientes
-La probabilidad de
“éxitos” en cada ensayo permanente constante. Sea este valor p
*Interesa la
probabilidad de que ocurra el r-ésimo éxito en la x-ésima prueba.
x= ‘representa el
número de ensayos hasta incluir al r-ésimo éxito.’
Valores de la variable
aleatoria
x=1 Éxito
x= 0 Fracaso
Función de
probabilidad
p ->probabilidad de
que suceda un éxito
q=1-p
->probabilidad de que suceda un fracaso
EJERCICIO:
Una maquina, que esta dañada, envasa latas de conserva de una y de manera independiente. El 5%es defectuoso.La maquina se detiena al producir el tercero.
A ¿Cuál es el número de latas producidas hasta que se detiene la máquina?
B ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina
se detenga en la novena lata producida?
C ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga
sin producir ninguna lata buena?
Solución:
x: número
de latas producidas hasta que hayan 3 defectuosas. X~BN(3,0.05)
E(x)=r/p= 3/0.05 = 60
Pr(X=9)=(9-1)C(3-1) * (0.05)^3
*(1-0.05)^(9-3)
Pr(X=9)=0.00257
c)
Pr(X=3)=(3-1)C(3-1) * (0.05)^3 *(1-0.05)^(3-3)
Pr(X=3)=0.000125
Martes, 17 de Enero del 2017,
Clase N#22
DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA Y CONTINUA
DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORMEClase N#22
DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA Y CONTINUA
Es distribución discreta
uniforme si en la variable su
espacio maestral tiene n
resultados, y cada uno con igual probabilidad.
X:Variable aleatoria discreta.
x = x1, x2, x3, ..., xn valores que puede tomarla
variable.
La distribución de probabilidad es:
MEDIA Y VARIANZA
DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA
Los valores tienen igual
valor de probabilidad en un intervalo especificado
para la variable.
X: variable aleatoria continúa.
Densidad de probabilidad es:
ay b son parámetros.
GRÁFICA DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
MEDIA Y VARIANZA
EJEMPLO:
Cundo falla cierto componente de una máquina, esta debe detenerse hasta que sea reparado, suponiendo que el tiempo de reparación puede tomar cualquier valor ente 1y 5 horas.
a.- Calcule la probabilidad que la duración tome al menos 2 horas.
b.-Calcule el valor esperado de la duración de la reparación.
x=duración de la reparación.
a.-
b.-
Viernes, 20 de Enero del 2017,
Clase N#23
Se rindió la primera prueba del segundo bimentre.
Martes, 24 de Enero del 2017,
Clase N#24
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Conocida
como distribución de Gauss.
X:variable aleatoria continua con media y varianza:
FUNCIÓN DE DENSIDAD
Con -inf < x <+inf
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
NORMAL ESTANDAR
Cuando esperanza=cero y varianza = 1.
FUNCIÓN DE DENSIDAD
La unidad estándar equivalente a x es el número z.
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
z:variable con distibución normal estándar con media cero y varianza uno.
x:variable con distibución normal con media y varianza.
Gráfico de la Distribución Normal y la Distribución Normal Estándar.
Ejemplo: (como se usa las tablas de distibución normal)
Viernes, 27 de Enero del 2017,
Clase N#25
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Notación:
X ~ Exp (λ).
Se denomina
una distribución exponencial a una distribución continua que algunas veces se
utiliza para modelar el tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento
(tiempo de espera); en otras palabras es un proceso de Polisón donde se repiten
sucesivamente un experimento a intervalos de tiempos iguales.
Función de
densidad de probabilidad y una distribución acumulativa
Donde:
λ:
parámetro o constante positiva real, cuyo valor determina la localización y
forma de la función.
x: variable
de distribución continua.
f(x):
función de densidad de probabilidad exponencial.
F(x): función de distribución exponencial
acumulativa
NO TIENE MEMORIA
Una
propiedad fundamental de la distribución exponencial es que no tiene memoria,al poseer información de que el elemento que consideramos ha
sobrevivido un tiempo S (hasta el momento) no modifica la probabilidad de que
sobreviva t unidades de tiempo más. Un ejemplo podría ser el tiempo que
tarda una partícula en desintegrarse.
Si T - Exp(λ), y t y s son números positivos:
P (T > t + s | T > s) = P (T > t)
VARIANZA Y MEDIA
E(x) =
V(x) =
Relación
entre el proceso de Poissón y la distribución exponencial:
La
distribución exponencial es el modelo correcto para los tiempos de espera,
siempre y cuando los eventos sigan un proceso de Poissón, con un parámetro de razón λ, y si T
representa el tiempo de espera desde cualquier punto inicial hasta el próximo
evento, entonces:
T ~ Exp (λ).
Donde el
evento (T > t)indica que el primer evento de Poisson ocurre después de t, en
otras palabras no ocurre ningún evento en el intervalo [0,t], es decir:
(T > t) = (X = 0) = P(X = 0)
SE tiene que:
t > 0
ƒ(t) =
F´(t) = λe^(-λt)
EJEMPLO:
Se sabe que
el tiempo de atención a cualquier cliente en cierto supermercado tiene
distribución exponencial con varianza 400 minutos; halle:
a) La media
del tiempo de atención a cualquier cliente y la probabilidad de que se tenga
que esperar hasta ese tiempo para ser atendido.
b) La probabilidad de que se espere entre 30 y 43
minutos para ser atendido
a)
b)
Martes, 31 de Enero del 2017,
Clase N#26
EL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria simple de una población con media u y varianza :
Su media muestral es:
Si Sn X1 . . . Xn la suma de las observaciones muestrales.
SI n ES LO SUFICIONETEMENTE GRANDE.
*Si el tamaño muestral es mayor a 30, la aproximación del teorema del límite central es buena.
Si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño n estraida de una población que tiene media u y varianza o^2: Es una variable aleatoria cuya función de probabilidad se aproxima a la DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR a medida que n aumenta.
EJEMPLO
Bibliografía:
* Navidi William, Estadistica para ingenieros y cientificos,[en linea], disponible en: https://drive.google.com/file/d/0B3NNTBVL1_YVeGk0S24zZGRxOFU/view
*Rodríguez
Ojeda Luis /PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA BÁSICA PARA INGENIEROS/ disponible en:
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